Thuyết tương đối !!!

[cmfc]

Hệ thống quảng cáo SangNhuong.com

Khi nghiên cứu những vật thể chuyển động với vận tốc rất lớn gần bằng với vận tốc ánh sáng, người ta thấy rằng cơ học cổ điển của Newton không còn thích hợp nữa. Do đó cần thiết phải xem lại các khái niệm về không gian và thời gian. Việc xem xét này thực hiện trong thuyết tương đối.

I.PHÉP BIẾN ÐỔI GALILEO (GALILEAN TRANSFORMATION)

1. Hệ qui chiếu- Hệ tọa độ

Muốn xác định vị trí các chất điểm trong không gian thì ta phải biết vị trí tương đối của chúng so với các vật thể làm móc gọi là hệ qui chiếu. Hệ qui chiếu được gắn lên một hệ trục tọa độ.

Ví dụ hệ trục tọa độ DESCARTES 3 trục vuông góc chẳng hạn, khi đó mỗi điểm được đặt trưng bằng tập hợp ba số (x,y,z) ta gọi là các tọa độ của điểm đã cho. Theo thời gian, các điểm có thể dịch chuyển cho nên cần phải bổ sung thêm (tọa độ thời gian) để hình thành khái niệm sự kiện. Sự kiện là một hiện tượng mà nó được xác định bằng 4 tọa độ (x,y,z,t). Ðó là tọa độ của một điểm vũ trụ (một sự kiện) trong không gian 4 chiều. Một tập hợp các sự kiện xảy ra liên tục tạo thành đường vũ trụ.

Hệ qui chiếu gắn lên các vật tự do gọi là các hệ qui chiếu quán tính. Các hệ qui chiếu quán tính có thể chuyển động tương đối với nhau. Khái niệm chuyển động và đứng yên chỉ có tính chất tương đối.

Tính bất biến (Invariant): Khi chuyển từ hệ qui chiếu quán tính S sang hệ qui chiếu quán tính S' hay ngược lại, nếu một đại lượng vật lý nào đó không đổi thì ta gọi đại lượng đó là bất biến (Inv) đối với phép chuyển đổi đó. Nếu một phương trình nào đó là đồng dạng trong phép chuyển đổi ta gọi phương trình đó là phương trình hiệp biến đối với phép chuyển đổi đó.

2. Phép biến đổi Galileo

Xét hai hệ quy chiếu quán tính S và S'. Giả sử hệ S đứng yên, hệ S' chuyển động với vận tốc u so với hệ S. Cho rằng ở thời điểm ban đầu S trùng với S' (Hình 1.1) thì sau thời gian t ta thấy có 1 sự kiện trong hệ quy chiếu S được biểu diễn bằng các toạ độ (x,y,z,t) thì ở hệ toạ độ S' biểu diễn bằng (x',y',z',t')

Theo phép cộng vận tốc:

[latex]\vec{SM} = \vec{SS'} + \vec{S'M} \rightarrow \vec{R} = \vec{R'} + \vec{u}.t[/latex]

Giả sử S' chuyển động theo chiều dương của trục Ox đối với S (Hình 1.2), ta có:

x = x' + u.t (1.1a)
y = y' (1.1b)
z = z' (1.1c)
t = t' (1.1d)

Trong biểu thức 1.1d ta hiểu ngầm thời gian trôi như nhau với hệ S và S'.
Đây là bốn công thức cơ bản về phép biến đổi Galileo.
Lấy đạo hàm theo thời gian của các phương trình trên và lưu ý phương trình 1.1d -> dt = dt' ta có công thức cộng vận tốc Galileo:

[latex]v_{x} = v_{x'} + u (1.2a)[/latex]
[latex]v_{y} = v_{y'} (1.2b)[/latex]
[latex]v_{z} = v_{z'} (1.2c)[/latex]

và đối với gia tốc:

[latex]a_{x} = a_{x'} (1.3a)[/latex]
[latex]a_{y} = a_{y'} (1.3b)[/latex]
[latex]a_{z} = a_{z'} (1.3c)[/latex]

3. Các đại lượng bất biến

Trước hết ta xét tính bất biến của khoảng cách hai điểm (hai chất điểm) j và k bất kì trong phép biến đổi Galileo giữa S và S'. Trong hệ S ta tính độ lớn của véc tơ [latex]\vec{JK}[/latex]:
[latex]\left|\vec{r_{j}}-\vec{r_{k}} \right|= \sqrt{\left(x_{j} - x_{k} \right)^{2} + \left(y_{j} - y_{k} \right)^{2} + \left(z_{j} - z_{k} \right)^{2}} (1.4a)[/latex]
[latex]\left|\vec{r'_{j}} - \vec{r'_{k}} \right|= \sqrt{\left(x'_{j} - x'_{k} \right)^{2} + \left(y'_{j} - y'_{k} \right)^{2} + \left(z'_{j} - z'_{k} \right)^{2}} (1.4b)[/latex]
Thay công thức 1.1 vào 1.4b ta có:
[latex]\left|\vec{r'_{j}} - \vec{r'_{k}} \right|= \sqrt{\left[\left(x_{j} - ut \right) - \left(x_{k} - ut \right)\right]^{2}+\left(y_{j} - y_{k} \right)^{2}+ \left(z_{j}-z_{k} \right)^{2}} [/latex]
[latex] = \left|\vec{r'_{j} - \vec{r'_{k}}} \right|= \sqrt{\left(x_{j} - x_{k} \right)^{2} + \left(y_{j} -y_{k} \right)^{2}+\left(z_{j} - z_{k} \right)^{2}]}[/latex]
[latex]=\left|\vec{r_{j}} - \vec{r_{k}} \right|[/latex] = [latex]\left|\vec{r'_{j}}-\vec{r'_{k}} \right| (1.5)[/latex]
Như vậy khoảng cách hai chất điểm j và k trong phép chuyển đổi Galileo giữa S và S' là bảo toàn. Từ sự bất biến của khoảng cách hai điểm ta suy ra là thể tích của một vật thể là bất biến. Vì khối lượng riêng là hằng số nên khối lượng của vật thể cũng là bất biến trong phép chuyển đổi Galileo giữa S và S'.

Từ các phương trình 1.3 ta thấy gia tốc của một chất điểm là không đổi trong phép chuyển đổi Galileo giữa S và S'

Bây giờ ta xét đến lực tương tác giữa các chất điểm.

Ta biết là lực tương tác giữa các hạt chỉ tùy thuộc vào khoảng cách r giữa chúng vì thế nếu xét lực tương tác F giữa hai hạt ta có thể viết biểu thức tổng quát :
[latex]F = \frac{C}{r^{\alpha}}[/latex]
trong đó C là một hằng số và [latex]\alpha [/latex] > 0

Vậy lực tương tác F giữa hai hạt cũng là bất biến trong phép chuyển đổi Galileo giữa S và S'. Khi xét một hạt riêng biệt, tổng các lực do các hạt khác tác dụng lên nó là chỉ phụ thuộc vào các khoảng cách cho nên hoàn toàn như nhau trong hai hệ S và S'. Vậy lực tổng hợp tác dụng lên một hạt bất kỳ cũng là bất biến trong phép chuyển đổi Galileo giữa S và S' .

Cuối cùng kết hợp khối lượng và gia tốc của một hạt nào đó là không đổi trong phép chuyển đổi Galileo giữa S và S' ta suy ra phương trình Ðịnh luật II Newton là phương trình hiệp biến đối với phép chuyển đổi S và S' tức là bất biến. Chúng ta cũng có thể chứng minh phương trình Ðịnh luật III Newton là phương trình hiệp biến đối với phép chuyển đổi S và S'.

Hãy tiếp tục xét phép biến đổi Galileo trong trường điện từ mà cụ thể là với ánh sáng để xem phép biến đổi Galileo có vận dụng một cách phù hợp không ?

(Còn nữa)
Theo Giáo sư Dương Hiếu Đấu

[longdatautovol]

Hệ thống quảng cáo SangNhuong.com

II THUYẾT TƯƠNG ÐỐI HẸP (SPECIAL RELATIVITY)

1. Những cơ sở thực nghiệm

Các phương trình Maxwell về sóng điện từ cho thấy ánh sáng truyền theo bất kì mọi hướng trong chân không với cùng vận tốc là [latex]c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}.\mu _{0}}} = 2,97.10^{8} m/s[/latex] . Đó là vận tốc giới hạn của mọi vận tốc.
Vấn đề đặt ra là ánh sáng lan truyền như thế nào trong một hệ quy chiếu quán tính đang chuyển động so với hệ quy chiếu đứng yên? Nếu ánh sáng truyền từ hệ S dọc theo chiều dương Ox với vận tốc là c, đồng thời hệ S' cũng đang chuyển động theo chiều dương Ox với vận tốc là u, thì người quan sát tại S sẽ thấy ánh sáng truyền đi với vận tốc là v = c + u > c ? Nếu như vậy thì vận tốc c không phải là vận tốc giới hạn?

2. Thí nghiệm Michalson-Morley

Cuối thế kỷ 19 đa số các nhà vật lý tin rằng vũ trụ được lắp đầy bởi một môi trường vật chất đặc biệt gọi là ether hỗ trợ cho sự lan truyền của sóng điện từ. Ðiều giả thuyết này dựa vào cơ sở là các sóng cơ học đều cần một môi trường trung gian để truyền tương tác. Ánh sáng đi qua ether với tốc độ là c bằng nhau theo mọi hướng.

Thí nghiệm được thực hiện bằng một giao thoa kế gồm các nguồn sáng đơn sắc có bước sóng [latex]\lambda = 633 nm[/latex] nửa phản xạ và nửa truyền qua M, hai gương phẳng M1 và M2 cùng đặt trong hệ quy chiếu S' (đó là phòng thí nghiệm di động đặt trong môi trường ether) đang chuyển động với vận tốc u theo chiều dương Ox so với hệ quy chiếu đứng yên S (Hình 1.3)

Ánh sáng sau khi tới bản M cho một tia phản xạ và đến gương M1 rồi phản xạ trở lại về M, truyền qua M lần nữa để vào G.

Tia khúc xạ sau khi đi qua M đến gặp M2 rồi phản xạ trở lại M, tia này tiếp tục phản xạ một lần nữa để vào G.

Gọi khoảng cách từ M đến M1 và M2 là bằng nhau và bằng L

Vì theo hệ quy chiếu S' đang chuyển động, M1 cũng đang chuyển động nên tia sáng từ M đến M1 sẽ đi theo đường xiên có độ dài là:

[latex]MM_{1}=\frac{L}{cos \alpha} = L\frac{c}{\sqrt{c^{2}-u^{2}}} (1.6)[/latex]

Thời gian ánh sáng đi từ M đến M1 và quay trở về là :

[latex]t_{1}=\frac{2MM_{1}}{c} = 2L\frac{1}{c^{2}-u^{2}} (1.7)[/latex]

Tia sáng đi từ M đến M2 có vận tốc tương đối là (c-u) còn khi nó quay trở lại có vận tốc tương đối là (c+u). Vậy thời gian từ M đi đến M2 và quay trở về là:

[latex]t_{2}=\frac{L}{c-u} +\frac{L}{c+u}=\frac{2Lc}{c^{2}-u^{2}} (1.8)[/latex]

Thời gian chênh lệch khi 2 tia đến và quay về M là:

[latex]\Delta t=t_{2}-t_{1}=\frac{2Lc}{c^{2}-u^{2}}-\frac{2L}{\sqrt{c^{2}-u^{2}}}(1.9)[/latex]

Do u nhỏ hơn nhiều so với c nên:

[latex]\frac{1}{\sqrt{c^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{c\sqrt{1}-\beta ^{2}}\approx \frac{1}{c^{2}}(1+\beta ^{2}) (1.10)[/latex]

trong đó: [latex]\beta =\frac{u}{c}[/latex]
và [latex]\frac{1}{c^{2}-u^{2}}=\frac{1}{c^{2}(1-\beta ^{2})}\approx \frac{1}{c^{2}}(1+\beta ^{2}) (1.11)[/latex]
Như vậy có thể viết lại là:

[latex]\Delta t=\frac{2Lc}{c^{2}-u^{2}}-\frac{2L}{\sqrt{c^{2}-u^{2}}}=\frac{Lu^{2}}{c^{3}} (1.12)[/latex]

Giả thiết rằng công thức cộng vận tốc Galileo là được thảo mãn thì hai tia sáng đó khi đi vào ống ngắm G có hiệu quang trình là [latex]\Delta r=c.\Delta t[/latex] và như vậy sẽ lệch pha nhau một lượng:

[latex]\Delta \phi =\frac{2\pi }{\lambda }(c.\Delta t)=\frac{2\pi Lu^{2}}{\lambda c^{2}}(1.13)[/latex]

Cường độ sáng tổng hợp trên màn giao thoa là [latex]I = I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}.cos[/latex]

trong đó I1, I2 lần lượt là cường độ của hai tia sáng thành phần cùng đi vào ống ngắm G. Thí nghiệm được làm lại nhiều lần trong điều kiện người ta quay dụng cụ thí nghiệm theo những góc khác nhau so với trục Ox nhưng vẫn giữ nguyên phương chuyển động của S so với S là Ox.

Sự tính toán bằng công thức hợp tốc Galileo cho ta kết qủa là theo những góc khác nhau thì hiệu số pha của các tia sáng thành phần đi vào ống ngắm G là khác nhau. Tức là cường độ sáng tổng hợp trên màn giao thoa khác nhau.

Theo tính toán thì cường độ sáng tổng hợp trong ống ngắm G sẽ thay đổi rất lớn, rất dễ quan sát khi mà ta quay dụng cụ thí nghiệm theo những góc khác nhau. Nhưng thực tế người ta không quan sát được sự thay đổi cường độ sáng khi quay dụng cụ thí nghiệm. Tức là hiệu số pha và hiệu thời gian truyền của hai tia sáng là như nhau.

Thí nghiệm này có thể chứng tỏ ánh sáng truyền theo mọi phương với cùng vận tốc là c chứ không tuân theo công thức cộng Galileo. Không thể có vận tốc lớn hơn c.

3. Thí nghiệm Sitter về quan sát hệ sao đôi

Năm 1913 de Sitter đã bác bỏ phép cộng vận tốc Galileo đối với ánh sáng trên cơ sở quan sát chuyển động của các ngôi sao đôi.

Sao đôi là hai ngôi sao ở gần nhau, chuyển động xung quanh một trọng tâm. Nếu một ngôi sao nặng hơn ngôi sao kia rất nhiều thì ngôi sao nhẹ sẽ chuyển động xung quanh ngôi sao nặng như một vệ tinh. Ðể đơn giản ta xem ngôi sao nặng là đứng yên còn ngôi sao nhẹ chuyển động xung quanh với vận tốc v (Hình 1.4).

Xét 1 tia sáng được phát ra tại thời điểm ngôi sao nhẹ ở điểm B chuyển động ra xa phía Trái Đất D lúc đó nếu dùng công thức Galileo tia sáng sẽ chuyển động về phía Trái Đất với vận tốc c-v, nếu tia sáng phát ra vào thời điểm t0 thì nó sẽ truyền đến Trái Đất vào thời điểm [latex]t_{1}=t_{0}+\frac{S}{c-v} (1.14)[/latex]
S là khoảng cách từ ngôi sao đến Trái Đất.

Sau mộ nửa chu kì quay là 0,5T ngôi sao đi đến điểm A có vận tốc tiếp tuyến hướng về phía Trái Đất, như vậy những tia sáng mà ngôi sao phát ra đi đến Trái Đất với vận tốc c+v, nó sẽ đến Trái Đất vào thời điểm là: [latex]t_{2}=t_{0}+0,5T+\frac{S}{c-v} (1.15)[/latex]

Nếu khoảng cách từ hệ sao đôi đến Trái Đất là đủ lớn sao cho tia sáng đi từ A đuổi kịp tia sáng đi từ B thì ta sẽ quan sát ánh sáng từ ngôi sao nhẹ tại hai thời điểm A và B vào cùng một thời điểm t được tính là:

[latex]t=t_{0}+\frac{T}{2}+\frac{S}{c+v}=t_{0}+\frac{S}{c -v} (1.16) [/latex]
[latex]T = 2S(\frac{1}{c-v}-\frac{1}{c+v})=\frac{4Sv}{c^{2}-v^{2}} [/latex]

Ta có thể chọn được một số hệ ngôi sao đôi thỏa tính chất trên để quan sát. Nhưng trên thực tế ta không bao giờ quan sát được. Như vậy không thể chấp nhận phép cộng vận tốc Galileo cho ánh sáng.

4. Thuyết tương đối hẹp của Einstein

Nguyên lý tương đối trong cơ học Newton nói rằng các hiện tượng cơ học đều xảy ra như nhau trong mọi hệ qui chiếu quán tính nhưng không nói rõ các hiện tượng khác như là nhiệt, điện, từ có xảy ra như nhau trong mọi hệ qui chiếu quán tính. Theo phần điện từ trường ta thấy tương tác từ xảy ra chủ yếu là do dòng điện tức là do chuyển động của các hạt mang điện. Như vậy có thể trong các hệ qui chiếu quán tính khác nhau các hiện tượng điện từ sẽ xảy ra khác nhau. Nhiều thí nghiệm được thực hiện với các hệ qui chiếu quán tính khác nhau với mục đích tìm ra một hệ qui chiếu quán tính mà ở đó tốc độ ánh sáng khác hẳn với tốc độ ánh sáng trong các hệ qui chiếu quán tính khác. Nhưng những thí nghiệm đó không đạt được kết quả.

Năm 1905 Einstein phát biểu nguyên lý tương đối về sự bình đẳng của các hệ qui chiếu quán tính cụ thể bằng hai tiên đề sau:

Tiên đề 1: Mọi hiện tượng Vật lý (Cơ, nhiệt, điện, từ ...) đều xảy ra như nhau trong các hệ qui chiếu quán tính. Ðiều nầy cho thấy các phương trình mô tả các hiện tượng tự nhiên đều có cùng dạng như nhau trong các hệ qui chiếu quán tính.

Tiên đề 2: Tốc độ ánh sáng trong chân không là một đại lượng không đổi trong tất cả các hệ qui chiếu quán tính.

Giả thuyết 1 phủ định sự tồn tại của một hệ qui chiếu quán tính đặc biệt ví dụ như một hệ qui chiếu đứng yên thật sự. Nói cách khác mọi hệ qui chiếu quán tính là hoàn toàn tương đương nhau. Từ tiên đề này các nhà khoa học khẳng định không thể tồn tại một môi trường ether truyền sóng điện từ (ánh sáng) với một vận tốc khác biệt các hệ qui chiếu khác.

Phép biến đổi GALILEO làm cho các phương trình NEWTON bất biến. Điều đó không có gì xung đột với giả thuyết thứ nhất của Einstein tuy nhiên khi xét đến thời gian thì trong thực tế định luật Newton thứ hai sẽ phải bổ sung lại.

Dựa vào giả thuyết 2 ta có thể giải thích thí nghiệm Michelson và thí nghiệm Sitter vì vận tốc truyền ánh sáng là như nhau theo mọi phương nên không thể sử dụng công thức cộng vận tốc Galileo cho ánh sáng.

(còn nữa)

[ptchien]

III. TÍNH ÐỒNG BỘ (SYNCHRONIZATION)

Theo cơ học Newton thì tất cả các đồng hồ có thể được cho đồng bộ như nhau bất kể sự chuyển động tương đối của các hệ. Ðiều này được chứng minh từ phép biến đổi Galileo.

Ðồng bộ là gì: Ví dụ có hai đồng hồ chạy hoàn toàn đúng như nhau. Ta đặt một cái tại trái đất, cái còn lại đặt trên tàu vũ trụ quay quanh mặt trăng. Vào cùng một thời điểm nào đó cả hai được điều chỉnh cùng một giá trị như nhau, sau đó nhiều tháng, nếu hai đồng hồ cùng chỉ một giá trị như nhau vào cùng một thời điểm quan sát ta nói hai đồng hồ đó là đồng bộ.

1. Sự chậm lại của thời gian (TIME DILATION)

Theo giả thuyết Einstein người ta có thể kết luận được rằng: các đồng hồ đồng bộ trong cùng một hệ quy chiếu quán tính thì sẽ không đồng bộ khi đặt nó trong hai hệ quy chiếu quán tính khác nhau ( Một hệ quy chiếu đang đứng yên còn một hệ quy chiếu đang chuyển động tương đối so với hệ đứng yên)
Ta quay lại thí nghiệm hai hệ quy chiếu quán tính S và S' trong đó S' đi ra xa S theo chiều dương Ox với vận tốc u. Trong hệ quy chiếu S ta có đặt một nguồn sáng mà bóng đèn sẽ phát sáng vào thời điểm ban đầu t =0 cũng là lúc S trùng với S'. Ta đặt trên trục Oy một gương phẳng M cách S một đoạn là L (ta sẽ nói sau là trong hệ quy chiếu S' thì khoảng cách này là L').

Với người quan sát đứng trong S', khi một xung sáng phát ra theo trục Oy' đến gương rồi bị phản xạ trở lại mất một khoảng thời gian:

[latex]\Delta t'=\frac{2L'}{c} (1.17)[/latex]

Ta hãy tính thời gian [latex]\Delta t[/latex] của xung sáng trên đi theo trục Oy' đến gương rồi phản xạ trở lại trong hệ S. Trong hệ S nếu xét nửa thời gian [latex]\frac{\Delta t}{2}[/latex] đó là thời gian xung ánh sáng đi đến gương với quãng đường là [latex]c\frac{\Delta t}{2}[/latex]

Mặt khác theo phương ngang xung ánh sáng đi được một quãng đường là [latex]u\frac{\Delta t}{2}[/latex].

Theo hình (1.15) ta có hệ thức sau: [latex]\frac{(c\Delta t)^{2}}{4}=L'^{2}+\frac{(u\Delta t)^{2}}{4}[/latex]
Chuyển [latex]\Delta t[/latex] sang một vế và rút gọn ta có:

[latex]\Delta t=\frac{2L'}{\sqrt{c^{2}-u^{2}}}=\frac{2L'}{c\sqrt{1-\beta ^{2}}} (1.18)[/latex]

Từ (1.17) ta có [latex]\Delta t'=\frac{2L'}{c}[/latex] thì phương trình (1.18) có thể viết lại:

[latex]\Delta t=\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\beta ^{2}}} (1.19)[/latex]

Mẫu số của vế phải (1.19) luôn nhỏ hơn 1 nên ta có [latex]\Delta t\geq \Delta t'[/latex]

Như vậy khi đứng trong hệ S hiện tượng ánh sáng truyền đến gương rồi phản xạ trở lại qua thời gian dài hơn khi hiện tượng đó diễn ra trong hệ S'.

Nói tóm lại nếu có 2 đồng hồ chạy đồng bộ, một đặt trong S và cái còn lại đặt trong S' thì đồng hồ trong hệ chuyển động chạy trễ hơn. Vậy cùng một hiện tượng ánh sáng đến gương rồi phản hồi lại nhưng trong hai hệ quy chiếu khác nhau thì thời gian diễn ra sẽ khác nhau.

Thời gian riêng: Khoảng thời gian [latex]\Delta t'[/latex] được đo trực tiếp và chính xác bằng một đồng hồ đặt trong hệ gắn lên chính đồng hồ đó (hệ S') được gọi là thời gian riêng. Trong hệ S ta không thể đo thời gian [latex]\Delta t[/latex] trực tiếp mà phải chờ tín hiệu phản hồi từ S' và so sánh sự đồng bộ của hai đồng hồ.

Thời gian riêng được tính theo (1.19) như sau: [latex]\Delta t'=\Delta t\sqrt{1-\beta ^{2}} (1.20)[/latex]
Vì c là rất lớn và nếu u không đáng kể thì độ chênh lệch giữa [latex]\Delta t[/latex] và [latex]\Delta t'[/latex] là không có ý nghĩa. Ví dụ với vận tốc âm thanh là u = 340m/s thay vào công thức (1.20) và dùng công thức gần đúng ta tính được [latex]\Delta t=(1+6,4.10^{-13})\Delta t'[/latex]

Một đồng hồ đặt trong hệ dịch chuyển với vận tốc âm thanh chỉ sai lệch 1 giây trong 50.000 năm so với đồng hồ đặt trong hệ đứng yên.

Một vận dụng cho sự chậm lại của thời gian trong các hệ quy chiếu đang chuyển động là việc xét các hạt cơ bản trong các thí nghiệm hiện đại về tia vũ trụ. Bởi vì các hạt cơ bản đó chuyển động gần bằng vận tốc ánh sáng so với Trái Đất. Công thức trễ về thời gian giúp ta xác định thời gian sống của các hạt trong phòng thí nghiệm (được xem là hệ đứng yên so với hệ gắn trên hạt chuyển động) trước khi hạt bị phân rã. Ví dụ với 1 tia của chùm hạt Pion dương với chu kì bán phân rã là 1,6.10^-8 giây, một nửa của chùm hạt Pion đó ở mức trung bình sẽ bị phân rã. Giả thiết tia Pion được tạo ra bởi một máy gia tốc hạt và trong phòng thí nghiệm, người ta đo các tia đó có vận tốc bằng 0.99 lần vận tốc ánh sáng c. Xét đến hệ quy chiếu phòng thí nghiệm chu kỳ bán phân rã sẽ dài hơn và có trị số là [latex]\Delta t=\frac{1,8.10^{-8}}{\sqrt{1-(0,99^{2})}}=12,8.10^{-8}s[/latex]
Nếu không có sự trễ về thời gian, phân nửa các hạt Pion sẽ bị phân rã sau khi đi được một đoạn:
[latex](0,99)(3.10^{8}m/s)(1,8.10^{-8}s)=5,3 m[/latex]
trong thực tế ở hệ phòng thí nghiệm nó đi được một đoạn là
[latex](0,99)(3.10^{8}m/s)(12,8.10^{-8}s)=38 m[/latex]

Sự trễ về thời gian trong thí nghiệm của hạt sơ cấp thì rất dễ quan sát bởi vì hạt chuyển động với vận tốc lớn gần vận tốc ánh sáng, đồng thời nó có thời gian sống ngắn. Tuy nhiên trong thế giới vĩ mô sự trễ về thời gian là rất khó đo lường. Một sự đo đạc chính xác đã được thực hiện tại trạm quan sát Nava của Mỹ để chứng tỏ sự đúng đắn của lý thuyết tương đối hẹp.

2. Sự không đồng bộ về thời gian

Sự chậm lại về thời gian của một đồng hồ trong các hệ qui chiếu quán tính đang chuyển động với vận tốc gần vận tốc ánh sáng so với các đồng hồ trong các hệ qui chiếu quán tính đứng yên là một minh chứng về sự không đồng bộ của thời gian của các hệ qui chiếu quán tính đứng yên và chuyển động. Sự không đồng bộ về thời gian chỉ ra rằng trong phép biến đổi Galileo không thể chấp nhận sự đồng nhất về thời gian trong hai hệ qui chiếu quán tính đang chuyển động với nhau (t = t'). Chỉ khi vận tốc chuyển động tương đối là nhỏ thì ta mới có thể vận dụng phép biến đổi Galileo.

(còn tiếp)

[grdoor]

Hệ thống quảng cáo SangNhuong.com

IV. ĐỘ DÀI TRONG HỆ QUY CHIẾU CHUYỂN ĐỘNG

1. Độ dài theo phương chuyển động

CHo hai hệ quy chiếu quán tính S và S' (S' chuyển động so với S với vận tốc u theo chiều dương Ox). Lúc t = 0 thì S trùng với S' đồng thời có một bóng đèn đặt tại S' bắt đầu phát sáng. Trên S' và dọc teo trục x' có đặt một gương phẳng M cách S' một đoạn L'.

Trong hệ S': Ánh sáng từ nguồn S đến đến gương M và quay lại S'. Theo kết quả của phần trên ta tính thời gian ánh sáng từ nguồn S' đến gương M và phản hồi lại:

[latex]\Delta t'=\frac{2L'}{c}[/latex]

Trong hệ S: độ dài từ nguồn S' cho đến gương sẽ khác với L', ta ký hiệu là L. Thời gian [latex]\Delta t[/latex] (Ánh sáng đi từ S đến gương M rồi quay lại và được đo trong hệ nghỉ S) gồm 2 thời gian. Thời gian sánh sáng đi từ S trùng với S' đến gương M là [latex]\Delta t_{1}[/latex] và thời gian ánh sáng quay trở về là [latex]\Delta t_{2}[/latex]. Ta có [latex]\Delta t=\Delta t_{1}+\Delta t_{2}[/latex].
Cũng trong thời gian [latex]\Delta t_{1}[/latex], vì hệ S' đang chuyển động, S' đi đến điểm A (hình 1.6a) còn gương đi từ M tới [latex]M_{A}[/latex]. Ánh sáng đi từ A đến [latex]M_{A}[/latex] với vận tốc ánh sáng c.
Vậy [latex]\Delta t_{1}=\frac{AM_{A}}{c} (1.22)[/latex]

Trong thời gian đó gương di chuyển một đoạn là [latex](AM_{A}-L)[/latex] và đoạn này gương đi với vận tốc u vậy:
[latex]\Delta t_{1}=\frac{M_{A}M}{u}=\frac{AM_{A}-L}{u}(1.23)[/latex]
Đồng nhất (1.22) và (1.23), ta có : [latex]\Delta t_{1}=\frac{AM_{A}}{c}=\frac{AM_{A}-L}{u}[/latex] suy ra [latex]AM_{A}=\frac{Lc}{c-u}=\frac{L}{1-\beta}(1.24)[/latex] cho nên [latex]\Delta t_{1}=\frac{AM_{A}}{c}=\frac{L}{c(1-\beta)}(1.25)[/latex] trong đó [latex]\beta =\frac{u}{c}[/latex]
Trong thời gian xung ánh sáng quay trở về là [latex]\Delta t_{2}[/latex] thì A đi đến B và [latex]M_{A}[/latex] đi đến [latex]M_{B}[/latex] với vận tốc u. CÒn ánh sáng quay trở về tới B với vận tốc c.

Ta có phương trình:
[latex]\Delta t_{2}=\frac{M_{B}B}{c}=\frac{M_{A}M_{B}}{u}=\frac{ L-M_{B}B}{u}[/latex]
suy ra [latex]M_{B}B=\frac{Lc}{c+u}=\frac{L}{1+\beta}[/latex]
vậy [latex]\Delta t_{2}=\frac{M_{B}B}{c}=\frac{L}{c(1+\beta)}(1.26)[/latex]
Tóm lại thời gian tổng cộng trong hai quá trình 1.25 và 1.26 là:
[latex]\Delta t=\Delta t_{1}+\Delta t_{2}=\frac{L}{c}(\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1+\beta})=\frac{2L}{c(1-\beta ^{2})}(1.27)[/latex]
Cuối cùng ta thay [latex]\Delta t'=\frac{2L'}{c}[/latex] và công thức trễ thời gian [latex]\Delta t'=\Delta t\sqrt{1-\beta ^{2}}[/latex] ta có:
[latex]\Delta t=\Delta t_{1}+\Delta t_{2}=\frac{\Delta t'}{1-\beta ^{2}}=\frac{2L'}{c\sqrt{1-\beta ^{2}}}=\frac{2L}{c(1-\beta ^{2})}(1.28)[/latex]
hay là [latex]L=L'\sqrt{1-\beta ^{2}}[/latex] hoặc ngược lại [latex]L'=\frac{L}{1-\beta ^{2}}(1.29)[/latex]

Phương trình trên cho ta sự thay đổi độ dài khi quan sát cùng một vật trong các hệ qui chiếu quán tính khác nhau. Thực tế muốn quan sát độ dài một vật ta phải đứng trong hệ qui chiếu gắn với vật đó (hệ S) vậy khi ra ngoài hệ S(đứng ở S') ta thấy độ dài của vật đó thực sự co lại nếu S' chuyển động với vận tốc u rất lớn so với S (có thể dùng một máy ảnh kiểm tra sự kiện đó)

Kết luận : độ dài của một vật nằm dọc phương chuyển động của hai hệ qui chiếu quán tính xét trong hệ qui chiếu đứng yên thì ngắn hơn độ dài của vật đó nếu ta xét trong hệ qui chiếu chuyển động.

Chú ý cũng giống như sự trễ về thời gian, sự co lại về độ dài chỉ ảnh hưởng khi mà vận tốc chuyển động khá lớn còn ở tốc độ âm thanh 340 m/s thì sự chênh lệch độ dài là không đáng kể.

2. Ðộ dài vuông góc với phương chuyển động :

Người ta tiến hành thí nghiệm như sau: Cho hai cây thước cùng độ dài 1 m, Một thước đặt thẳng đứng trên mặt đất, thước còn lại đặt thẳng đứng trên một xe lăn đang chuyển động theo phương ngang với vận tốc u (gần vận tốc ánh sáng) và hai đầu có gắn hai thanh đánh dấu vị trí. Khi thước có đánh dấu đi ngang qua thước cố định nó sẽ vạch lại kích thước của nó lên trên thước cố định.

Sau thí nghiệm người ta thấy kích thước của cả hai cây thước luôn luôn trùng nhau khi hai thước đứng yên và cả khi một thước đang chuyển động với vận tốc tương đối (gần vận tốc ánh sáng) so với thước kia.

Chúng ta rút ra kết luận rằng chiều dài của các vật thể nằm theo các phương vuông góc chuyển động của hai hệ qui chiếu quán tính sẽ không có sự co giãn về độ dài.

(còn nữa)

[chyngjeeng]

V. PHÉP BIẾN ÐỔI LORENTZ ( LORENTZ TRANSFORMATION)

1. Công thức Lorentz về biến đổi toạ độ

Theo thuyết tương đối Einstein thì hai đồng hồ là không đồng bộ khi đặt trong hai hệ quán tính khác nhau. Vậy trong công thức biến đổi Galileo không thể chấp nhận hệ thức t=t nói cách khác, phương trình liên hệ tương đối phải có công thức liên quan về thời gian và không gian trong hai hệ S và S'.

Về thời gian, giả sử S' chuyển động theo chiều dương Ox với vận tốc u so với S thì đoạn x' trong hệ S' sẽ biến thành [latex]x'\sqrt{1-\beta ^{2}}[/latex] xét trong hệ S. Ngoài ra theo thời gian t hệ S' đi ra xa hệ S một đoạn [latex]x_{0}=ut[/latex]. Vậy ta có công thưc liên hệ x và x' là:
[latex]x=x_{0}+x'.\sqrt{1-\beta ^{2}}=ut+x'.\sqrt{1-\beta ^{2}}[/latex]
hay viết lại là: [latex]x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\beta ^{2}}} (1.30a)[/latex]
Theo các trục OY, OZ thì độ dài theo phương vuông góc với phương chuyển động là không đổi vậy ta có :
y' = y (1.30b)
z' = z (1.30c)
Ðể tìm công thức biến đổi về thời gian ta xét một bóng đèn lúc t=0 bắt đầu phát sáng tại vị trí hệ S' trùng với hệ S. Trong hệ S ánh sáng phát ra theo sóng cầu với vận tốc c, sau thời gian t bán kính của hình cầu tương ứng là ct cho nên ta có :
[latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=(ct)^{2}[/latex]
Tương tự trong hệ S' phương trình của hình cầu tương ứng (theo nguyên lý một của Einstein) cũng được viết bởi:
[latex]x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=(ct')^{2}[/latex]
Đưa (1.30b) và (1.30c) vào hai phương trình trên ta suy ra:
[latex]x^{2}-(ct)^{2}=x'^{2}-(ct')^{2}[/latex]
hay là: [latex]t'^{2}=\frac{x'^{2}-x^{2}+c^{2}t^{2}}{c^{2}}[/latex]
Thay biểu thức (1.30a) vào ta lại có:
[latex]t'=\frac{t-\frac{ux}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}} (1.30d)[/latex]
Trong phép biến đổi về thời gian, nếu u là nhỏ hơn nhiều so với c thì [latex]\beta [/latex] sẽ tiến về 0 và t=t' ta trở lại phép biến đổi Galileo.
Tóm lại phép biến đổi Lorentz từ hệ quán tính S sang hệ quán tính S' gồm các phương trình sau:
[latex]x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
y'=y
z'=z
[latex]t'=\frac{t-\frac{ux}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
Chúng ta có các công thức biến đổi ngược như sau:
[latex]x=\frac{x'+ut'}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}(1.31a)[/latex]
y=y'(1.31b)
z=z' (1.31c)
[latex]t=\frac{t'-\frac{ux'}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
Chính nhờ việc ứng dụng phép biến đổi đó để giải thích các hiện tượng vật lý nguyên tử, Hendrik antoon Lorentz nhận giải thưởng Nobel về vật lý năm 1902.

2. Công thức biến đổi LORENTZ về vận tốc (LORENTZ VELOCITY TRANSFORMATION)

Từ công thức 1.31a lấy đạo hàm theo dt ta có :
[latex]v'_{x}=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\frac{dx}{dt'}-\frac{udt}{dt'}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
Theo phương trình 1.31d ta có:
[latex]\frac{dt}{dt'}=\frac{\frac{dt'}{dt'}+\frac{u}{c^{2 }}\frac{dx'}{dt'}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}=\frac{1+\frac{uv'_{x}}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
còn [latex]\frac{dx}{dt'}=\frac{dx}{dt}.\frac{dt}{dt'}=v_{x}\ frac{dt}{dt'}[/latex]
thay vào vận tốc:
[latex]v_{x}=\frac{dx}{dt}=\frac{v'_{x}+u}{1+\frac{uv'_{x }}{c^{2}}} (1.32a)[/latex]
Tính toán tương tự, ta có:
[latex]v_{y}=\frac{dy}{dt}=\frac{v'_{y}(\sqrt{1-\beta ^{2}})}{1+\frac{uv'_{x}}{c^{2}}} (1.32b)[/latex]
[latex]v_{z}=\frac{dz}{dt}=\frac{v'_{z}(\sqrt{1-\beta ^{2}})}{1+\frac{uv'_{x}}{c^{2}}} (1.33c)[/latex]
[latex]v'_{x}=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\frac{dx}{dt'}-\frac{udt}{dt'}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}} (1.34)[/latex]
Chú ý: khi u nhỏ hơn rất nhiều so với c thì các công thức biến đổi Lorenzt quay trở về công thức cộng Galileo.

(còn nữa)

[pjhuyenhanh]

Hệ thống quảng cáo SangNhuong.com

3. Giải thích thí nghiệm Fizeau bằng công thức biến đổi Lorentz

Fizeau thực hiện thí nghiệm vào năm 1951 với mục đích là đo vận tốc ánh sáng trong môi trường chuyển động. Ta biết vận tốc của ánh sáng trong một môi trường có chiết suất n bằng v=c/n. Nếu ánh sáng truyền trong môi trường mà bản thân môi trường lại chuyển động với vận tốc u khá lớn gần với vận tốc ánh sáng thì tốc độ truyền của ánh sáng trong môi trường đó so với hệ qui chiếu đứng yên sẽ thay đổi.

Mô tả: Một tia sáng đơn sắc đi từ nguồn sáng laser A đến bản nửa phản xạ và nửa truyền qua B chia làm hai tia. Hệ tia phản xạ BKDEB sau khi phản xạ trên gương B một lần nữa đi vào máy giao thoa F. Hệ tia truyền qua và phản xạ BEDKB sau khi truyền qua gương B một lần nữa đi vào cùng đi vào máy giao thoa F. Hai tia sáng kể trên đi qua một quãng đường như nhau nhưng các tia sáng khi đi qua quãng đường KD và BE thì truyền qua chất lỏng. Nếu môi trường chất lỏng đứng yên thì hiệu quang trình của hai tia sáng vào F là như nhau. Tuy nhiên trong thí nghiệm thì môi trường là đang chuyển động với vận tốc u (hình 1.7) Ðiều nầy làm cho hiệu quang trình của hai tia sáng vào F là thay đổi , dẫn đến sự lệch của vân sáng trung tâm. Ðo độ lệch của vân sáng trung tâm, ta có thể tính lại hiệu quang trình của hai tia. Nếu đo chính xác các khỏang cách KD và BF ta sẽ xác định vận tốc truyền ánh sáng trong chất lỏng đối với hệ qui chiếu đứng yên.



nếu gọi L là các quãng đường ánh sáng đi trong chất lỏng. Thời gian để ánh sáng đi hết quãng đường bên ngoài chất lỏng là t0. Vận tốc của ánh sáng khi đi theo chiều KD là v+ = v+ku còn vận tốc của ánh sáng khi đi theo chiều BE là v- = v- ku.

Thời gian của tia BKDFB đi đến F là: [latex]t_{1}=t_{0} + \frac{L}{v +ku} (1.35)[/latex]
Thời gian của tia BFDKB đi đến F là: [latex]t_{2}=t_{0} + \frac{L}{v -ku} (1.36)[/latex]
Vậy hiệu thời gian của hai tia sáng đó là: [latex]\Delta t=t_{2}-t_{1}=\frac{2kuL}{v^{2}-k^{2}u^{2}}[/latex]
Hiệu quang trình của hai tia sáng đó là: [latex]\Delta s=c.\Delta t=t_{2}-t_{1}=\frac{2ckuL}{v^{2}-k^{2}u^{2}}[/latex]

Kết quả thí nghiệm cho thấy: [latex]k=1-\frac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{n^{2}}(1.37)[/latex]
Vì vậy: [latex]v_{+-}=v+-ku=v+-(1-\frac{1}{n^{2}})u=v+-(\frac{n^{2}-1}{n^{2}})u (1.38)[/latex]
Nếu ta đồng nhất: [latex]v'_{x}=v=\frac{c}{n} và v_{x}=v+[/latex]
Sử dụng công thức biến đổi Lorentz ta có:
[latex]v+-=\frac{v+-u}{1+\frac{uv}{c^{2}}}=\frac{vc^{2}+-uc^{2}}{c^{2}+uv}=\frac{v(c^{2}+uv)-uv^{2}+-uc^{2}}{c^{2}+uv}=v+-\frac{u(c^{2}=v^{2}}{c^{2}+uv}[/latex]
[latex]v+-=v+-(1-\frac{v^{2}-uv}{c^{2}+uv})u(1.39)[/latex]
Trong trường hợp thí nghiệm Fizeau thì u< [latex]v+-=v+-(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})u(1.40)[/latex]
Vậy ta kết luận vận tốc ánh sáng trong các môi trường luôn tuân theo công thức biến đổi vận tốc Lorentz

4. Hệ quả:

Chúng ta dùng công thức biến đổi Lorentz để kiểm tra lại sự biến đổi về thời gian, độ dài trong các đồng hồ không đồng bộ

a. Sự trễ về thời gian.

Một đồng hồ ở vị trí x' trong hệ S' một thời gian riêng đo được trên nó là dt' và thời gian dt nhận được với người quan sát trên hệ S theo 1.31d là:
[latex]dt =\frac{dt'+\frac{udx'}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
bởi vì đồng hồ đặt cố định tại x' trên S' cho nên dx'=0 và công thức được viết lại là:
[latex]dt =\frac{dt'}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
Đây là công thức trễ về thời gian của cùng một quá trình trong hai hệ quy chiếu quán tính khác nhau.

b. Sự co lại của khoảng cách:

Giả sử đặt một que dài dọc theo trục Ox' của hệ S'. Vị trí hai đầu của que là x1' và x2' trong hệ S' thì khoảng cách x2'-x1' là độ dài riêng.

Tương ứng trong hệ S vị trí của que là x1 và x2, khoảng cách x2-x1 là độ dài riêng của que trong hệ S. Ta có:
[latex]x'_{2}-x'_{1}=\frac{x_{2}-ut}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}-\frac{x_{1}-ut}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
Thay L= x2 - x1 và L' = x2' - x1' ta có: [latex]L'=\frac{L}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex] hay là [latex]L=L'\sqrt{1-\beta ^{2}}[/latex]

c, Công thức sự không đồng bộ:

Chúng ta đặt hai đồng hồ đồng bộ trong cùng hệ S' tại hai điểm cách nhau một đoạn dx' = L' thì từ phương trình 1.31d ta có thể viết một khoảng thời gian nào đó trong hệ S là dt bằng:
[latex]dt=\frac{dt'+\frac{udx'}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}=\frac{dt'+\frac{uL'}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
Khi khoảng thời gian trọng hệ S co về 0 (nghĩa là có hai đồng hồ chạy đồng bộ trong hệ S) thì từ dt=0 ta suy ra:
[latex]\frac{dt'+\frac{uL'}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}=0\rightarrow dt'=\frac{-uL'}{c^{2}}[/latex]
Công thức đó chỉ cho ta biết nếu hai đồng hồ đồng bộ trong hệ quy chiếu đứng yên đặt tại hai vị trí khác nhau trong hệ quy chiếu quán tính chuyển động gần vận tốc ánh sáng thì hai đồng hồ đó không đồng bộ với nhau nữa và độ trễ thời gian của hai đồng hồ không đồng bộ được tính bằng công thức :
[latex]\left|dt' \right|=\frac{uL'}{c^{2}} (1.41)[/latex]

[spn]

hơ hơ hơ anh Tân ..... dài ghê vậy......ngại đọc

[hobacco]

Hệ thống quảng cáo SangNhuong.com

dài thật. công phu thật. like phát nào !!!!!!!!

[myduco]

ôi, tha thứ cho đầu óc ngu ngốc của ta, đọc chả hiểu gì ráo!:c6: