Giai điệu dây và bản giao hưởng vũ trụ (6)
Định nghĩa thời gian một cách trừu tượng là việc không dễ dàng. Những ý định làm điều đó thường rồi cuối cùng lại phải dùng chính từ ?thời gian? hoặc những uốn éo ngôn ngữ để lảng tránh từ đó. Vì vậy, chúng ta sẽ không đi theo con đường đó, mà chọn một quan điểm thực dụng hơn và định nghĩa thời gian là cái được đo bởi các đồng hồ.
Chân lý và những hệ quả
Vận tốc là thước đo độ nhanh chậm chuyển động của một vật trong một khoảng thời gian đã cho. Nếu bạn cho xe chạy với vận tốc 100 km/h thì điều đó có nghĩa là bạn sẽ đi được quãng đường 100 km nếu bạn duy trì được trạng thái chuyển động đó trong một giờ. Với định nghĩa như trên xem ra vận tốc là một khái niệm quá ư bình thường, điều này khiến bạn có thể ngạc nhiên là tại sao chúng ta lại phải quá bận tâm về vận tốc của quả lựu đạn, của tuyết rơi và của các photon đến như vậy. Tuy nhiên, bạn cần lưu ý rằng khoảng cách (hay quãng đường) là một khái niệm về không gian và đặc biệt nó là thước đo khoảng không gian giữa hai điểm. Cũng lại phải lưu ý rằng khoảng thời gian là một khái niệm về thời gian - nó cho biết có bao nhiêu thời gian ngăn cách giữa hai sự kiện. Do đó, vận tốc liên quan một cách mật thiết với những quan niệm của chúng ta về không gian và thời gian. Khi chúng ta diễn giải vận tốc theo cách vừa nêu ở trên, chúng ta thấy rằng bất cứ một sự kiện thực nghiệm nào thách thức quan niệm thông thường của chúng ta về vận tốc, ví dụ như sự không đổi của vận tốc ánh sáng chẳng hạn, thì nó cũng có khả năng thách thức những quan niệm thông thường của chúng ta về không gian và thời gian. Chính vì lý do đó, mà sự thực lạ lùng về vận tốc ánh sáng rất đáng để chúng ta phải xem xét một cách kỹ lưỡng. Đó là điều mà Einstein đã làm và đã đưa ông tới những kết luận đầy kinh ngạc.
Ảnh hưởng của chuyển động đến thời gian (I)
Dùng tính không đổi của vận tốc ánh sáng ta dễ dàng chứng minh được rằng quan niệm thông thường của chúng ta về thời gian là hoàn toàn sai lầm. Ta hãy hình dung lãnh tụ của hai nước đang có chiến tranh, ngồi ở hai đầu đối diện nhau bên bàn đàm phán, vừa mới thoả thuận xong hiệp ước ngừng bắn, nhưng không ai muốn đặt bút ký trước cả. Lúc này Tổng thư ký Liên hiệp quốc đã nảy ra một giải pháp tuyệt vời. Ông đề nghị đặt một bóng đèn được bật, ánh sáng từ bóng đèn sẽ đồng thời tới chỗ ngồi của hai vị tổng thống, vì họ ngồi cách bóng đèn những khoảng bằng nhau. Và mỗi vị tổng thống sẽ ký vào một bản hiệp ước khi nhìn thấy đèn sáng. Kế hoạch này đã được thực hiện và bản hiệp ước đã được ký kết với sự hài lòng của cả hai bên.
Hể hả với thành công đó, ông Tổng thư ký lại dùng chính biện pháp đó với hai quốc gia khác đang giao chiến khác cũng vừa mới đạt được thoả thuận hoà bình. Chỉ có điều khác là hai vị lãnh đạo tham gia trong cuộc đàm phán này lại ngồi đối diện nhau ở hai đầu bàn đặt trong một toa xe lửa chuyển động với vận tốc không đổi. Thật khéo bố trí là tổng thống nước Tiền Hành lại ngồi ở phía đầu bàn nhìn về phía đầu tàu. Vốn am hiểu nguyên lý nói rằng các định luật vật lý là hoàn toàn như nhau bất kể trạng thái chuyển động miễn sao chuyển động này là đều, ông Tổng thư ký đã không bận tâm tới vị trí ngồi khác nhau của hai vị lãnh đạo và cho tiến hành lễ ký kết được khởi phát bởi một bóng đèn như đã làm trong trường hợp trước. Cả hai tổng thống đã ký hiệp ước và cùng với đoàn cố vấn của cả hai bên ăn mừng về sự chấm dứt thù địch giữa hai nước.
Đúng lúc đó có tin trên sân ga đã xảy ra cuộc ẩu đả của dân hai nước đến quan sát lễ ký kết. Tất cả những người tham gia cuộc đàm phán trên tàu đều vô cùng bàng hoàng khi nghe nói rằng nguyên do của sự thù địch mới nổ ra là bởi dân nước Tiền Hành nói rằng họ đã bị lừa bịp vì tổng thống của họ đã đặt bút ký trước đức vua nước Hậu Hành. Vì mọi người trên tàu của cả hai bên đều nhất trí là hiệp ước đã được ký đồng thời, thế thì tại sao những người đứng quan sát bên ngoài trên sân ga lại có thể nghĩ khác?
Chúng ta xem xét kỹ lưỡng hơn quan điểm của người quan sát trên sân ga. Ban đầu, bóng đèn trên tàu chưa bật và sau đó ở một thời điểm đặc biệt nó được bật sáng và phóng chùm sáng về phía cả hai vị tổng thống. Theo quan điểm của người đứng trên sân ga, thì tổng thống của nước Tiền Hành tiến về phía chùm sáng trong khi đó đức vua nước Hậu Hành lùi ra chùm sáng tới. Như vậy, theo người quan sát trên sân ga thì điều này có nghĩa là, chùm sáng tới được tổng thống chỉ phải đi quãng đường ngắn hơn, do tổng thống tiến về phía nó, so với quãng đường đến được tới đức vua vì đức vua lùi ra xa nó. Điều này không đả động gì đến vận tốc ánh sáng vì như chúng ta đã nói bất chấp trạng thái chuyển động của nguồn sáng và người quan sát, vận tốc của ánh sáng đều như nhau. Thay vì thế chúng ta chỉ mô tả khoảng cách mà ánh sáng phải đi cho tới khi đến được tổng thống và đức vua theo quan điểm của người quan sát trên sân ga. Vì khoảng cách này đối với tổng thống là nhỏ hơn so với đức vua và vì vận tốc ánh sáng hướng tới mỗi người là như nhau, nên ánh sáng sẽ tới tổng thống của nước Tiền Hành sớm hơn. Và điều này giải thích tại sao dân nước này tuyên bố rằng họ đã bị lừa.
Khi đài CNN phát đi lý lẽ của những người chứng kiến, ông Tổng thư ký, tổng thống và đức vua hai nước cùng với các cố vấn của họ không thể tin vào tai mình nữa. Tất cả họ đều nhất trí rằng bóng đèn đã được lắp chặt ở chính giữa tổng thống và đức vua do đó dứt khoát là ánh sáng từ bóng đèn phát ra sẽ phải đi cùng một quãng đường đến đức vua và tổng thống. Vì vận tốc của ánh sáng đi sang phải sang trái đều như nhau, nên họ tin rằng ánh sáng đó sẽ đến hai vị lãnh đạo một cách đồng thời. Những quan sát của mỗi nhóm và lời giải thích biện hộ của họ đều không chê vào đâu được. Và câu trả lời là cả hai đều có lý cả. Giống như hai nhà du hành Goerge và Gracie, quan điểm của mỗi người đều có một phần chân lý như nhau. Sự lắt léo duy nhất ở đây là: ?chân lý? tương ứng của hai bên dường như lại mâu thuẫn nhau. Về mặt chính trị, kết cục của cuộc tranh cãi này là rất quan trọng: Liệu tổng thống và đức vua có ký hiệp ước một cách đồng thời hay không? Những quan sát và suy luận nêu ở trên không khỏi dẫn chúng ta tới kết luận rằng theo những người ở trên tàu thì họ đã ký đồng thời còn theo những người ở sân ga thì không phải như vậy. Nói một cách khác, những sự kiện có thể đồng thời đối với người quan sát này sẽ không đồng thời đối với người quan sát khác, nếu như hai người là chuyển động đối với nhau.
Đây là một kết luận gây sửng sốt. Đó là một trong số những phát minh sâu sắc nhất về bản chất của thực tại. Tuy nhiên, nếu như rất lâu sau khi bạn gấp cuốn sách này lại mà bạn chẳng còn nhớ được chút gì trình bày trong chương này trừ sự ngộ nhận về tính đồng thời liên qua tới ví dụ ở trên thì nghĩa là bạn đã nắm được cái căn bản nhất trong phát minh của Einstein rồi. Câu chuyện của chúng ta chứng tỏ rằng không cần tới công cụ toán học hoặc những suy luận lôgíc phức tạp, đặc điểm hoàn toàn bất ngờ nói trên của thời gian vẫn có thể suy ra trực tiếp từ tính không đổi của vận tốc ánh sáng. Cần lưu ý rằng, nếu vận tốc ánh sáng không phải là không đổi mà xử sự theo đúng trực giác của chúng ta dựa trên những quả bóng hoặc khối tuyết chuyển động chậm chạp, thì những người quan sát trên sân ga sẽ nhất trí ngay với những người quan sát trên con tàu. Nhưng người trên sân ga cũng vẫn tuyên bố rằng quãng đường mà các photon phải đi tới tổng thống dài hơn quãng đường mà chúng đi tới đức vua. Tuy nhiên, trực giác thông thường lại cho biết rằng ánh sáng đi về phía đức vua chuyển động nhanh hơn do nhận được cú ?hích? thêm của con tàu chuyển động về phía trước. Tương tự, những người quan sát này cũng thấy rằng ánh sáng đi về phía tổng thống sẽ chuyển động chậm hơn do bị chuyển động của con tàu ?kéo lại?. Khi cả hai hiệu ứng (sai lầm) đó được xét tới, thì những người quan sát này cũng thấy rằng chùm sáng đến với tổng thống và đức vua đồng thời. Tuy nhiên, trong thế giới thực, ánh sáng không chuyển động nhanh lên hay chậm đi, nó không thể bị ?hích? tới vận tốc cao hơn hay bị ?kéo lại? để có vận tốc nhỏ đi. Do đó, những người quan sát trên sân ga kiện rằng ánh sáng tới tổng thống của họ sớm hơn là hoàn toàn có lý.
Sự không đổi của vận tốc ánh sáng đòi hỏi chúng ta phải vứt bỏ quan niệm lỗi thời cho rằng tính đồng thời là một khái niệm tuyệt đối, mà tất cả mọi người đều phải nhất trí bất kể trạng thái chuyển động của họ. Chiếc đồng hồ tuyệt đối theo những giây giống hệt nhau ở Trái Đất chúng ta cũng như trên sao Hỏa, sao Thổ, trong thiên hà Andromeda hay ở bất cứ xó xỉnh nào khác trong Vũ trụ là không tồn tại. Mà trái lại, những người quan sát chuyển động đối với nhau sẽ không nhất trí về tính đồng thời của sự kiện. Lại một lần nữa, nguyên nhân khiến cho kết luận đó ? một đặc tính chân thực của thế giới mà chúng ta sống ? trở nên xa lạ như vậy là do các hiệu ứng là cực kỳ nhỏ do những vận tốc có liên quan chỉ là những vận tốc bình thường mà ta gặp hàng ngày (nghĩa là rất nhỏ so với vận tốc ánh sáng ? ND). Giả sử chiếc bàn đàm phán dài cỡ 30 m đặt trong toa xe lửa chuyển động với vận tốc 15 km/h, thì những người quan sát trên sân ga sẽ ?thấy? chùm ánh sáng tới tổng thống sớm hơn tới đức vua chỉ khoảng một phần triệu tỷ giây. Sự khác biệt đó là có thật, nhưng vì nó quá nhỏ nên mắt người không thể phát hiện trực tiếp được. Nếu xe lửa chuyển động nhanh hơn nhiều, chẳng hạn với vận tốc 1 tỷ km/giờ, thì đối với người quan sát trên sân ga, ánh sáng tới đức vua sẽ mất một khoảng thời gian dài gấp 25 lần thời gian ánh sáng tới tổng thống. Ở những vận tốc cao, những hiệu ứng lạ lùng của thuyết tương đối hẹp sẽ càng thể hiện rõ rệt.
Ảnh hưởng của chuyển động đến thời gian (II)
Định nghĩa thời gian một cách trừu tượng là việc không dễ dàng. Những ý định làm điều đó thường rồi cuối cùng lại phải dùng chính từ ?thời gian? hoặc những uốn éo ngôn ngữ để lảng tránh từ đó. Vì vậy, chúng ta sẽ không đi theo con đường đó, mà chọn một quan điểm thực dụng hơn và định nghĩa thời gian là cái được đo bởi các đồng hồ. Tất nhiên, làm như vậy là ta đã chuyển gánh nặng định nghĩa sang từ ?đồng hồ?. Ở đây ta tạm coi đồng hồ là một dụng cụ thực hiện những chu trình chuyển động cực kỳ đều đặn và ta sẽ đo thời gian bằng cách đếm số chu trình mà đồng hồ đã thực hiện. Những đồng hồ quen thuộc như chiếc đồng hồ đeo tay của chúng ta đều phù hợp với định nghĩa đó, chúng đều có các kim chuyển động theo những chu trình đều đặn và thực tế chúng ta đo khoảng thời gian bằng cách đếm số các chu trình (hay các phần của chu trình) mà các kim đã quét được giữa hai sự kiện đã chọn.
Tất nhiên, ý nghĩa của cụm từ ?những chu trình chuyển động cực kỳ đều đặn? đã ngầm liên quan đến khái niệm thời gian rồi, tính từ ?đều đặn? đã ám chỉ những khoảng thời gian bằng nhau đã trôi qua trong mỗi chu trình. Trên quan điểm thực tiễn, điều này được thể hiện ở chỗ chúng ta đã chế tạo đồng hồ bằng những linh kiện vật lý đơn giản mà không có gì thay đổi từ chu trình này sang chu trình khác. Những đồng hồ của cụ kỵ chúng ta với con lắc đu đưa qua lại và những đồng hồ nguyên tử dựa trên các quá trình tuần hoàn xảy ra trong nguyên tử là những ví dụ quen thuộc.
Mục đích của chúng ta bây giờ là tìm hiểu ảnh hưởng của chuyển động đến sự trôi của thời gian và vì chúng ta đã định nghĩa thời gian nhờ các đồng hồ, nên chúng ta có thể ?phiên? vấn đề đó thành vấn đề tìm hiểu ảnh hưởng của chuyển động đến nhịp ?tíc tắc? của các đồng hồ. Điều quan trọng cần phải nhấn mạnh ngay từ đầu là, cuộc thảo luận của chúng ta không có liên quan gì đến những ảnh hưởng của sự xô lắc do những chuyển động trên các con đường gồ ghề đến sự hoạt động của các cơ cấu bên trong một đồng hồ cụ thể nào đó. Thực tế, chúng ta chỉ xét một loại chuyển động đơn giản và êm đềm nhất, đó là chuyển động thẳng đều và do đó hoàn toàn không có sự xô lắc nào. Và chúng ta sẽ chỉ quan tâm tới câu hỏi có tính tổng quát: chuyển động có ảnh hưởng như thế nào đến sự trôi của thời gian và do đó nó ảnh hưởng một cách cơ bản như thế nào đến nhịp tíc tắc của mọi loại đồng hồ bất kể chúng được thiết kế và chế tạo cụ thể như thế nào?
Để đạt mục đích đó, chúng ta đưa vào một loại đồng hồ đơn giản nhất (và cũng là phi thực tiễn nhất) thế giới, nó được gọi là ?đồng hồ photon?. Đồng hồ này gồm hai gương nhỏ lắp trên giá, quay mặt phản xạ vào nhau và một photon duy nhất nảy qua nảy lại giữa hai gương đó (xem Hình 2.1). Với khoảng cách giữa hai gương bằng 15 cm, photon sẽ mất một phần tỷ giây để thực hiện được một chu trình trọn vẹn (từ một gương nảy tới gương kia rồi nảy về gương ban đầu). Có thể coi những tiếng ?tíc tắc? trong đồng hồ photon sẽ được phát ra mỗi khi photon thực hiện được trọn một chu trình. Như vậy, đồng hồ nói trên trong khoảng thời gian một giây sẽ phát ra một tỷ tiếng ?tíc tắc?.
Hình 2.1. Một đồng hồ photon gồm hai gương đặt song song với một photon nảy qua lại giữa hai gương. Đồng hồ sẽ phát ra tiếng ?tíc tắc? mỗi khi photon thực hiện được một chu trình trọn vẹn.
Chúng ta có thể dùng đồng hồ photon để đo khoảng thời gian giữa hai sự kiện bằng cách chỉ cần đếm số tiếng tíc tắc mà đồng hồ phát ra giữa hai sự kiện đó rồi nhân nó với thời gian tương ứng với tiếng tíc tắc. Ví dụ, nếu chúng ta muốn xác định thời gian đua của một con ngựa và giữa thời điểm xuất phát với thời điểm tới đích ta đếm được 55 tỷ chu trình trọn vẹn của photon, thì ta có thể kết luận được rằng con ngựa chạy hết 55 giây.
Sở dĩ ở đây chúng ta dùng đồng hồ photon là bởi vì đơn giản về mặt cơ cấu của nó sẽ tước bỏ đi được nhiều chi tiết không có liên can và do đó cho phép chúng ta thấy được rõ nhất ảnh hưởng của chuyển động đến sự trôi của thời gian. Để thấy điều đó, hãy tưởng tượng ta đang lơ đãng quan sát sự trôi của thời gian bằng cách nhìn chiếc đồng hồ photon đang tíc tắc ở chiếc bàn bên cạnh. Rồi bất chợt có một chiếc đồng hồ photon thứ hai trượt qua bên cạnh với vận tốc không đổi (xem Hình 2.2). Vấn đề đặt ra là chiếc đồng hồ photon chuyển động có tíc tắc cùng một nhịp với chiếc đồng hồ đứng yên hay không ?
Hình 2.2. Chiếc đồng hồ photon ở phía trước đứng yên, trong khi đó chiếc đồng hồ thứ hai chuyển động thẳng đều.
Để trả lời câu hỏi này, ta hãy xét con đường mà photon trong chiếc đồng hồ chuyển động đã đi trong một chu trình trọn vẹn theo quan điểm của chúng ta. Photon xuất phát từ chiếc gương dưới trong chiếc đồng hồ chuyển động (xem Hình 2.3) và ban đầu đi tới gương trên. Vì theo quan điểm của chúng ta, đồng hồ là chuyển động, nên photon phải đi theo con đường xiên góc như ta thấy trên hình 2.3. Nếu photon không đi theo còn đường đó thì nó không thể tới đập vào gương trên và sẽ bay mất tăm vào không gian. Vì đồng hồ chuyển động hoàn toàn có quyền tuyên bố rằng nó đứng yên và mọi thứ khác đều chuyển động, nên ta biết rằng photon nhất định sẽ đập vào gương trên và do đó con đường mà chúng ta vẽ là đúng. Sau khi đập vào gương trên, photon lại đi theo con đường chéo góc trở về đập vào gương dưới và đồng hồ chuyển động phát ra tiếng tíc tắc. Một điểm đơn giản nhưng rất quan trọng là quãng đường gồm hai đoạn chéo góc nói trên mà ta thấy photon này phải đi đoạn dài hơn quãng đường đi lên đi xuống của photon trong chiếc đồng hồ đứng yên, vì ngoài việc phải đi các đoạn lên và xuống, photon trong chiếc đồng hồ chuyển động còn cần phải chuyển động ngang sang bên phải nữa (tất nhiên là theo quan điểm của chúng ta). Hơn nữa, sự không đổi của vận tốc ánh sáng nói với chúng ta rằng photon trong chiếc đồng hồ chuyển động có vận tốc hoàn toàn giống như vận tốc của photon trong chiếc đồng hồ đứng yên. Nhưng vì phải đi một quãng đường xa hơn mới phát ra được một tiếng tíc tắc, nên nó sẽ phát ra tiếng kêu thưa thớt hơn. Bằng chứng đơn giản đó đã xác lập được rằng đồng hồ photon chuyển động, theo quan điểm của chúng ta, đã tíc tắc chậm hơn chiếc đồng hồ photon đứng yên. Và vì chúng ta đã nhất trí rằng số tiếng tíc tắc trực tiếp cho biết có bao nhiêu thời gian đã trôi qua, nên chúng ta thấy rằng, đối với đồng hồ chuyển động, thời gian trôi chậm chạp hơn.
Có thể bạn còn băn khoăn tự hỏi, điều này biết đâu chỉ đơn giản phản ánh một đặc điểm đặc biệt nào đó của đồng hồ photon và liệu có thể áp dụng cho các đồng hồ quả lắc thời cụ kỵ của chúng ta hoặc những chiếc đồng hồ Rolex hay không? Nghĩa là liệu thời gian được đo bởi các đồng hồ quen thuộc hơn đối với chúng ta có chậm lại như đồng hồ photon nói ở trên không? Câu trả lời là một tiếng có dõng dạc, như bạn có thể thấy bằng cách áp dụng nguyên lý tương đối. Giả sử bạn gắn một chiếc đồng hồ Rolex lên trên mỗi đồng hồ photon và lặp lại thí nghiệm ở trên. Như đã nói, đồng hồ photon đứng yên và chiếc đồng hồ Rolex chỉ cùng các khoảng thời gian, tức là khi đồng hồ Rolex chỉ 1 giây, thì đồng hồ photon phát ra 1 tỷ tiếng tíc tắc. Nhưng còn đồng hồ photon chuyển động và chiếc đồng hồ Rolex gắn với nó thì sao? Liệu chiếc đồng hồ Rolex chuyển động có chạy chậm lại để vẫn còn đồng bộ với chiếc đồng hồ photon mà nó được gắn vào hay không? Để thấy rõ hơn, ta hãy tưởng tượng tổ hợp hai đồng hồ photon và Rolex được gắn chặt vào trần một toa xe không có cửa sổ đang chuyển động trên đường ray thẳng và nhẵn lý tưởng với vận tốc không đổi. Theo nguyên lý tương đối, thì người quan sát trên con tàu không có một cách thức nào để phát hiện được bất cứ một ảnh hưởng nào chuyển động của con tàu. Nhưng nếu chiếc đồng hồ photon và đồng hồ Rolex mất đồng bộ với nhau, thì đây chính là một ảnh hưởng có thể ghi nhận được, tức là trái với nguyên lý tương đối. Như vậy, chiếc đồng hồ photon và đồng hồ Rolex vẫn phải cùng đo được những khoảng thời gian như nhau và chiếc đồng hồ Rolex cũng phải chậm lại theo cách hệt như chiếc đồng hồ photon. Bất chấp nhãn hiệu, kiểu loại và cấu tạo, các đồng hồ chuyển động đối với nhau sẽ ghi lại sự trôi của thời gian với tốc độ khác nhau.
Sự khảo sát ở trên đối với đồng hồ photon cũng cho ta thấy rõ rằng sự sai khác chính xác về thời gian của các đồng hồ đứng yên và chuyển động phụ thuộc vào chỗ: trong một chu trình trọn vẹn, photon trong đồng hồ chuyển động phải đi một quãng đường dài hơn là bao nhiêu. Mà điều này thì lại phụ thuộc vào tốc độ của đồng hồ chuyển động càng nhanh, photon sẽ phải chuyển động ngang về phía bên phải càng dài hơn. Như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng, so với đồng hồ đứng yên, nhịp độ phát ra tiếng tíc tắc của đồng hồ chuyển động sẽ càng chậm nếu nó chuyển động càng nhanh [1].
Để có một ý niệm về thang các độ lớn, cần lưu ý rằng thời gian để photon đi hết một chu trình trọn vẹn là một phần tỷ giây. Muốn cho đồng hồ có thể đi được một khoảng cách đáng kể trong thời gian giữa một tiếng tíc tắc này đến một tiếng tíc tắc tiếp sau, thì nó phải chuyển động rất nhanh, tức là phải có vận tốc gần vận tốc ánh sáng. Nếu nó chuyển động với vận tốc thông thường cỡ 15 km/h thì giữa hai lần phát ra tiếng tíc tắc nó sẽ chỉ đi được theo phương ngang về bên phải chừng bốn phần tỷ mét. Khi đó phần quãng đường mà photon chuyển động phải đi thêm là rất nhỏ và vì vậy tác dụng tương ứng của nó đến nhịp độ phát ra tiếng tíc tắc của đồng hồ chuyển động cũng sẽ cực nhỏ. Và lại một lần nữa, do nguyên lý tương đối, điều này đối với mọi đồng hồ và do vậy đúng với chính thời gian. Điều này giải thích tại sao, những sinh vật như chúng ta vốn chỉ chuyển động đối với nhau với vận tốc nhỏ, nói chung, không ý thức được sự giãn nở của thời gian. Những hiệu ứng, mặc dù thực sự hiện hữu, nhưng lại cực kỳ nhỏ bé. Trái lại, nếu chúng ta bám được vào chiếc đồng hồ chuyển động và cùng chu du với nó với vận tốc chẳng hạn bằng 3/4 vận tốc ánh sáng, thì những phương trình của thuyết tương đối hẹp cho thấy rằng những người quan sát đứng yên sẽ thấy chiếc đồng hồ chuyển động của chúng ta phát ra tiếng tíc tắc với nhịp độ chỉ gần bằng 2/3 nhịp độ của chiếc đồng hồ riêng của họ. Quả là một hiệu ứng đáng kể.
[1] Đối với độc giả thiên về toán học, những nhận xét này có thể tính được một cách định lượng. Ví dụ, nếu đồng hồ ánh sáng chuyển động có vận tốc v và photon của nó phải mất một thời gian t mới thực hiện trọn vẹn một chu trình khứ hồi (đo theo đồng hồ ánh sáng đứng yên của chúng ta), thì đồng hồ chuyển động sẽ đi được quãng đường Vũ trụ khi photon của nó về tới gương dưới). Theo định lý Pythagore, thì các đoạn đường chéo góc trên hình 2.3 bằng [căn](vt/2)2 + h2 với h là khoảng cách giữa hai gương. Do đó, tổng hai đoạn đường chéo góc bằng 2[căn](vt/2)2 + h2 . Vì vận tốc của ánh sáng là không đổi và được ký hiệu là c, nên photon phải mất một thời gian 2[căn](vt/2)2 + h2/c giây để thực hiện một chu trình khứ hồi. Nghĩa là chúng ta có phương trình t = 2[căn](vt/2)2 + h2/c . Giải phương trình trên cho t, ta được t = 2h/[căn]c2 - v2. Để tránh nhầm lẫn, ta viết tưcd = 2h/[căn]c2 - v2 trong đó chỉ số dưới chỉ khoảng thời gian chúng ta đo được giữa hai đồng hồ đứng yên của chúng ta là tdy = 2h/c và sau vài ba phép biến đổi ta tìm được tcd = tdy/[căn] 1- v2/c2. Hệ thức vừa tìm được trực tiếp chứng tỏ rằng thời gian giữa hai tiếng tíc tắc của đồng hồ chuyển động dài hơn thời gian giữa hai tiếng tíc tắc của đồng hồ đứng yên. Điều này có nghĩa là giữa hai sự kiện đã chọn, số tiếng tíc tắc phát ra trong đồng hồ chuyển động ít hơn so với đồng hồ đứng yên.