V. PHÉP BIẾN ÐỔI LORENTZ ( LORENTZ TRANSFORMATION)
1. Công thức Lorentz về biến đổi toạ độ
Theo thuyết tương đối Einstein thì hai đồng hồ là không đồng bộ khi đặt trong hai hệ quán tính khác nhau. Vậy trong công thức biến đổi Galileo không thể chấp nhận hệ thức t=t nói cách khác, phương trình liên hệ tương đối phải có công thức liên quan về thời gian và không gian trong hai hệ S và S'.
Về thời gian, giả sử S' chuyển động theo chiều dương Ox với vận tốc u so với S thì đoạn x' trong hệ S' sẽ biến thành [latex]x'\sqrt{1-\beta ^{2}}[/latex] xét trong hệ S. Ngoài ra theo thời gian t hệ S' đi ra xa hệ S một đoạn [latex]x_{0}=ut[/latex]. Vậy ta có công thưc liên hệ x và x' là:
[latex]x=x_{0}+x'.\sqrt{1-\beta ^{2}}=ut+x'.\sqrt{1-\beta ^{2}}[/latex]
hay viết lại là: [latex]x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\beta ^{2}}} (1.30a)[/latex]
Theo các trục OY, OZ thì độ dài theo phương vuông góc với phương chuyển động là không đổi vậy ta có :
y' = y (1.30b)
z' = z (1.30c)
Ðể tìm công thức biến đổi về thời gian ta xét một bóng đèn lúc t=0 bắt đầu phát sáng tại vị trí hệ S' trùng với hệ S. Trong hệ S ánh sáng phát ra theo sóng cầu với vận tốc c, sau thời gian t bán kính của hình cầu tương ứng là ct cho nên ta có :
[latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=(ct)^{2}[/latex]
Tương tự trong hệ S' phương trình của hình cầu tương ứng (theo nguyên lý một của Einstein) cũng được viết bởi:
[latex]x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=(ct')^{2}[/latex]
Đưa (1.30b) và (1.30c) vào hai phương trình trên ta suy ra:
[latex]x^{2}-(ct)^{2}=x'^{2}-(ct')^{2}[/latex]
hay là: [latex]t'^{2}=\frac{x'^{2}-x^{2}+c^{2}t^{2}}{c^{2}}[/latex]
Thay biểu thức (1.30a) vào ta lại có:
[latex]t'=\frac{t-\frac{ux}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}} (1.30d)[/latex]
Trong phép biến đổi về thời gian, nếu u là nhỏ hơn nhiều so với c thì [latex]\beta [/latex] sẽ tiến về 0 và t=t' ta trở lại phép biến đổi Galileo.
Tóm lại phép biến đổi Lorentz từ hệ quán tính S sang hệ quán tính S' gồm các phương trình sau:
[latex]x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
y'=y
z'=z
[latex]t'=\frac{t-\frac{ux}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
Chúng ta có các công thức biến đổi ngược như sau:
[latex]x=\frac{x'+ut'}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}(1.31a)[/latex]
y=y'(1.31b)
z=z' (1.31c)
[latex]t=\frac{t'-\frac{ux'}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
Chính nhờ việc ứng dụng phép biến đổi đó để giải thích các hiện tượng vật lý nguyên tử, Hendrik antoon Lorentz nhận giải thưởng Nobel về vật lý năm 1902.
2. Công thức biến đổi LORENTZ về vận tốc (LORENTZ VELOCITY TRANSFORMATION)
Từ công thức 1.31a lấy đạo hàm theo dt ta có :
[latex]v'_{x}=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\frac{dx}{dt'}-\frac{udt}{dt'}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
Theo phương trình 1.31d ta có:
[latex]\frac{dt}{dt'}=\frac{\frac{dt'}{dt'}+\frac{u}{c^{2 }}\frac{dx'}{dt'}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}=\frac{1+\frac{uv'_{x}}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}[/latex]
còn [latex]\frac{dx}{dt'}=\frac{dx}{dt}.\frac{dt}{dt'}=v_{x}\ frac{dt}{dt'}[/latex]
thay vào vận tốc:
[latex]v_{x}=\frac{dx}{dt}=\frac{v'_{x}+u}{1+\frac{uv'_{x }}{c^{2}}} (1.32a)[/latex]
Tính toán tương tự, ta có:
[latex]v_{y}=\frac{dy}{dt}=\frac{v'_{y}(\sqrt{1-\beta ^{2}})}{1+\frac{uv'_{x}}{c^{2}}} (1.32b)[/latex]
[latex]v_{z}=\frac{dz}{dt}=\frac{v'_{z}(\sqrt{1-\beta ^{2}})}{1+\frac{uv'_{x}}{c^{2}}} (1.33c)[/latex]
[latex]v'_{x}=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\frac{dx}{dt'}-\frac{udt}{dt'}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}} (1.34)[/latex]
Chú ý: khi u nhỏ hơn rất nhiều so với c thì các công thức biến đổi Lorenzt quay trở về công thức cộng Galileo.
(còn nữa)
|