IV. ĐỘ DÀI TRONG HỆ QUY CHIẾU CHUYỂN ĐỘNG
1. Độ dài theo phương chuyển động
CHo hai hệ quy chiếu quán tính S và S' (S' chuyển động so với S với vận tốc u theo chiều dương Ox). Lúc t = 0 thì S trùng với S' đồng thời có một bóng đèn đặt tại S' bắt đầu phát sáng. Trên S' và dọc teo trục x' có đặt một gương phẳng M cách S' một đoạn L'.
Trong hệ S': Ánh sáng từ nguồn S đến đến gương M và quay lại S'. Theo kết quả của phần trên ta tính thời gian ánh sáng từ nguồn S' đến gương M và phản hồi lại:
[latex]\Delta t'=\frac{2L'}{c}[/latex]
Trong hệ S: độ dài từ nguồn S' cho đến gương sẽ khác với L', ta ký hiệu là L. Thời gian [latex]\Delta t[/latex] (Ánh sáng đi từ S đến gương M rồi quay lại và được đo trong hệ nghỉ S) gồm 2 thời gian. Thời gian sánh sáng đi từ S trùng với S' đến gương M là [latex]\Delta t_{1}[/latex] và thời gian ánh sáng quay trở về là [latex]\Delta t_{2}[/latex]. Ta có [latex]\Delta t=\Delta t_{1}+\Delta t_{2}[/latex].
Cũng trong thời gian [latex]\Delta t_{1}[/latex], vì hệ S' đang chuyển động, S' đi đến điểm A (hình 1.6a) còn gương đi từ M tới [latex]M_{A}[/latex]. Ánh sáng đi từ A đến [latex]M_{A}[/latex] với vận tốc ánh sáng c.
Vậy [latex]\Delta t_{1}=\frac{AM_{A}}{c} (1.22)[/latex]
Trong thời gian đó gương di chuyển một đoạn là [latex](AM_{A}-L)[/latex] và đoạn này gương đi với vận tốc u vậy:
[latex]\Delta t_{1}=\frac{M_{A}M}{u}=\frac{AM_{A}-L}{u}(1.23)[/latex]
Đồng nhất (1.22) và (1.23), ta có : [latex]\Delta t_{1}=\frac{AM_{A}}{c}=\frac{AM_{A}-L}{u}[/latex] suy ra [latex]AM_{A}=\frac{Lc}{c-u}=\frac{L}{1-\beta}(1.24)[/latex] cho nên [latex]\Delta t_{1}=\frac{AM_{A}}{c}=\frac{L}{c(1-\beta)}(1.25)[/latex] trong đó [latex]\beta =\frac{u}{c}[/latex]
Trong thời gian xung ánh sáng quay trở về là [latex]\Delta t_{2}[/latex] thì A đi đến B và [latex]M_{A}[/latex] đi đến [latex]M_{B}[/latex] với vận tốc u. CÒn ánh sáng quay trở về tới B với vận tốc c.
Ta có phương trình:
[latex]\Delta t_{2}=\frac{M_{B}B}{c}=\frac{M_{A}M_{B}}{u}=\frac{ L-M_{B}B}{u}[/latex]
suy ra [latex]M_{B}B=\frac{Lc}{c+u}=\frac{L}{1+\beta}[/latex]
vậy [latex]\Delta t_{2}=\frac{M_{B}B}{c}=\frac{L}{c(1+\beta)}(1.26)[/latex]
Tóm lại thời gian tổng cộng trong hai quá trình 1.25 và 1.26 là:
[latex]\Delta t=\Delta t_{1}+\Delta t_{2}=\frac{L}{c}(\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1+\beta})=\frac{2L}{c(1-\beta ^{2})}(1.27)[/latex]
Cuối cùng ta thay [latex]\Delta t'=\frac{2L'}{c}[/latex] và công thức trễ thời gian [latex]\Delta t'=\Delta t\sqrt{1-\beta ^{2}}[/latex] ta có:
[latex]\Delta t=\Delta t_{1}+\Delta t_{2}=\frac{\Delta t'}{1-\beta ^{2}}=\frac{2L'}{c\sqrt{1-\beta ^{2}}}=\frac{2L}{c(1-\beta ^{2})}(1.28)[/latex]
hay là [latex]L=L'\sqrt{1-\beta ^{2}}[/latex] hoặc ngược lại [latex]L'=\frac{L}{1-\beta ^{2}}(1.29)[/latex]
Phương trình trên cho ta sự thay đổi độ dài khi quan sát cùng một vật trong các hệ qui chiếu quán tính khác nhau. Thực tế muốn quan sát độ dài một vật ta phải đứng trong hệ qui chiếu gắn với vật đó (hệ S) vậy khi ra ngoài hệ S(đứng ở S') ta thấy độ dài của vật đó thực sự co lại nếu S' chuyển động với vận tốc u rất lớn so với S (có thể dùng một máy ảnh kiểm tra sự kiện đó)
Kết luận : độ dài của một vật nằm dọc phương chuyển động của hai hệ qui chiếu quán tính xét trong hệ qui chiếu đứng yên thì ngắn hơn độ dài của vật đó nếu ta xét trong hệ qui chiếu chuyển động.
Chú ý cũng giống như sự trễ về thời gian, sự co lại về độ dài chỉ ảnh hưởng khi mà vận tốc chuyển động khá lớn còn ở tốc độ âm thanh 340 m/s thì sự chênh lệch độ dài là không đáng kể.
2. Ðộ dài vuông góc với phương chuyển động :
Người ta tiến hành thí nghiệm như sau: Cho hai cây thước cùng độ dài 1 m, Một thước đặt thẳng đứng trên mặt đất, thước còn lại đặt thẳng đứng trên một xe lăn đang chuyển động theo phương ngang với vận tốc u (gần vận tốc ánh sáng) và hai đầu có gắn hai thanh đánh dấu vị trí. Khi thước có đánh dấu đi ngang qua thước cố định nó sẽ vạch lại kích thước của nó lên trên thước cố định.
Sau thí nghiệm người ta thấy kích thước của cả hai cây thước luôn luôn trùng nhau khi hai thước đứng yên và cả khi một thước đang chuyển động với vận tốc tương đối (gần vận tốc ánh sáng) so với thước kia.
Chúng ta rút ra kết luận rằng chiều dài của các vật thể nằm theo các phương vuông góc chuyển động của hai hệ qui chiếu quán tính sẽ không có sự co giãn về độ dài.
(còn nữa)