aumy.wood
29-08-2012, 09:54 AM
Năm 1923 Arthus Compton đã thực hiện thí nghiệm tán xạ của tia Rơnghen trên một khối than chì. Trong thí nghiệm đó, ông chiếu tia Rơnghen đơn sắc vào một tấm than chì và khảo sát bước sóng của tia Rơnghen tán xạ. Ộng nhận thấy rằng, bước sóng của tia Rơnghen tán xạ thay đổi tùy thuộc vào góc tán xạ \varphi :
- Phần tia bức xạ không bị lệch sau khi tán xạ, nghĩa là vẫn truyền đúng theo phương của tia tới, sẽ không thay đổi bước sóng.
- Phần tia bức xạ bị tán xạ một cách đáng kể thì khi đi qua khối than chì thì bước sóng của nó thay đổi, bước sóng \lambda ' lớn hơn một cách đáng kể so với bước sóng \lambda của sóng tới.
Câu hỏi đặt ra là : vì sao tần số của tia Rơnghen lại nhỏ đi như vậy?
Compton đã nhận ra rằng, hiện tượng này có thể dễ dàng giải thích bằng mô hình hạt của bức xạ điện từ khi cho rằng các photon của tia Rơnghen va cham đàn hồi với các electron trong trạng thái liên kết của khối than chì. theo quy luật của va chạm đàn hồi, các photon sẽ truyền một phần năng lượng cho electron và do đó sau khi va chạm sẽ có một năng lượng nhỏ hơn. Đến đây theo giả thuyết lượng tử của Planck và lý thuyết Photon của Einstein bức xạ sẽ có tần số nhỏ hơn và do đó có bước sóng lớn hơn.
http://i764.photobucket.com/albums/xx283/vantan169/HiungCompton-2.jpg
Sơ đồ thí nghiệm tán xạ của Compton
Khi tia Rơnghen có bước sóng rất cao thì có thể bỏ qua năng lượng liên kết của electron trong nguyên tử.
Với \lambda = 7,11.10^{11} m => năng lượng Photon E=17,4.10^{13} eV.
=> Trong thực tế toàn bộ năng lượng Photon chuyển cho electron sẽ biến thành động năng của electron.
- Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và năng lượng:
\vec{p} photon + \vec{p} electron = \vec{p}' photon + \vec{p}' electron (1) - Xung lượng.
Có thể xem như:
E photon + E electron = E' photon + E' electron (2) - Năng lượng
- Muốn tính sự thay đổi bước sóng của chùm tia Rơnghen tới tán xạ trên những electron gần như tự do của vật thể ta xem xét góc tán xạ.
- Giả thuyết lượng tử của Planck về sự phụ thuộc của năng lượng vào tần số:
E = hf (3)
- Hệ thức Einstein trong thuyết tương đối hẹp:
E = mc^{2} (4)
Từ (3)(4) => Khối lượng động m của Photon:
hf = mc^{2} => m = \frac{hf}{c^{2}} (5)
- Xung lượng của Photon (p = mv):
p_{photon} = m_{photon}.c = \frac{hf}{c^{2}}.c = \frac{hf}{c} (6)
- Từ E= hf = \frac{hc}{\lambda} => c= \lambda.f (7)
Từ (6)(7) => p_{photon} = \frac{hf}{c} = \frac{hf}{\lambda.f} = \frac{h}{\lambda} (8)
http://i764.photobucket.com/albums/xx283/vantan169/HiungCompton-3.jpg
Xung lượng tán xạ của Photon Rơnghen trên e tự do (mấy cái p trên có dấu véctơ)
Theo định luật bảo toàn xung lượng (hình trên):
\vec{p'}_{photon} + \vec{p'}_{electron} = \vec{p}_{photon} (9)
Cần tính \vec{p'}_{photon}. Dùng định lý Cos: a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2.b.c.cos\alpha (*)
(dùng định lý cos -> bỏ dấu véctơ)
p'^{2}_{electron} = p^{2}_{photon} + p'^{2}_{photon} - 2.p_{photon}.p'_{photon}.cos\varphi (10)
Theo (8) thay xung lượng của Photon : p_{photon} = \frac{h}{\lambda} vào (*)
p^{2}_{photon} = \frac{h^{2}}{\lambda^{2}} + \frac{h^{2}}{\lambda'^{2}} - 2.\frac{h}{\lambda}.\frac{h}{\lambda'}.cos\varphi (11)
Giải (2) theo \lambda' (electron):
E photon + E electron = E' photon + E' electron
<=> E' electron = E photon + E electron - E' photon (12)
- Sau khi va chạm, tần số thay đổi từ f -> f' => Năng lượng sẽ thay đổi (theo giả thuyết lượng tử Planck) :
E -> E' => hf -> hf' => \Delta E_{electron} = hf - hf' (13)
Năng lượng nghỉ của Electron tính theo E = mc^{2} :
=> Năng lượng E'_{electron} sau va chạm :
E'_{electron} = \Delta E_{electron} + m_{electron}.c^{2} = hf - hf' + m_{electron}.c^{2} (14)
- Công thức quan hệ giữa xung lượng và năng lượng:
E = \sqrt{p_^{2}.c^{2} + m^{2}.c^{4}} (15)
=> Áp dụng cho xung lượng và năng lượng cho electron sau va chạm:
E'_{e} = \sqrt{p_{e}^{2}.c^{2} + m_{e}^{2}.c^{4}}
- Bình phương 2 vế và chuyển vế :
E'^{2}_{e} = p'^{2}_{e}.c^{2} + m^{2}_{e}.c^{4} <=> m^{2}_{e}.c^{4} = E'^{2}_{e} - p'^{2}_{e}.c^{2} (16)
Từ (10)(12) ta thay vào phương trình (16):
=> m^{2}_{e}.c^{4} = ( E_{photon} + E _{electron} - E'_{photon})^{2} - ( p^{2}_{photon} +p'^{2}_{photon} - 2.p_{photon}.p'_{photon}.cos\varphi).c^{2}
Kết hợp với (11) và (14) ta có:
m^{2}_{electron}.c^{4} = (E'_{electron})^{2} - (p'_{electron}^{2}) = (hf - hf' + m_{electron}.c^{2})^{2} - (\frac{h^{2}}{\lambda^{2}} + \frac{h^{2}}{\lambda^{2}} - 2. \frac{h}{\lambda}.\frac{h}{\lambda'}.cos\varphi).c ^{2}
Khai triển và rút gọn các số hạng ta được:
0 = h^{2}.f^{2} - 2.h^{2}.f.f' + h^{2}.f'^{2} + 2.hf.m_{e}.c^{2} - 2.h.f'.m_{e}.c^{2} - \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda^{2}} - \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda'^{2}} + 2.\frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda.\lambda'}.cos\varphi (17)
Ta biết rằng: \frac{h.c}{\lambda} = h.f => \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda^{2}} = h^{2}.f^{2} (18)
Có thể suy ra : \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda.\lambda'} = h^{2}.f.f' (19)
Đổi tất cả số hạng ở (17) từ \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda^{2}} hoặc \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda.\lambda'} có thể về h^{2}.f^{2} hoặc h^{2}.f.f' :
=> (17) <=> 0 = h^{2}.f^{2} - 2.h^{2}.f.f' + h^{2}.f'^{2} + 2.h.f.m_{e}.c^{2} - 2.h.f'.m_{e}.c^{2} - h^{2}.f^{2} - 2.h^{2}.f.f' + 2.h^{2}.f.f'.cos\varphi
Rút gọn: 0 = - 2.h^{2}.f.f' + 2.h.f.m_{e}.c^{2} - 2.h.f'.m_{e}.c^{2}+ 2.h^{2}.f.f'.cos\varphi (20)
Chia vế phải cho 2h sau đó ghép thừa số chung ta được:
0 = (f-f').m_{e}.c^{2} - h.f.f'.(1 - cos\varphi)
Hay: (f-f').m_{e}.c^{2} = h.f.f'.(1 - cos\varphi) (21)
Chia 2 vế cho f.f'.m_{e}.c^{2} ta được:
\frac{f-f'}{f.f'} = \frac{h.(1 - cos\varphi)}{m_{e}.c^{2}} (22)
<=> \frac{f}{f.f'} - \frac{f'}{f.f'} = (1- cos\varphi).\frac{h}{m_{e}.c^{2}}
<=> \frac{1}{f'} - \frac{1}{f} = (1 - cos\varphi).\frac{h}{m_{e}c^{2}} (23)
Nhân cả 2 vế của (23) với c, ta có:
\frac{c}{f'} - \frac{c}{f} = (1 - cos\varphi).\frac{h}{m_{e}.c} (24)
Vì \frac{c}{f} = \lambda. Ta có thể viết phương trình (24) dưới dạng:
\lambda - \lambda' = (1 - cos\varphi).\frac{h}{m_{e}.c} (25)
Ta có \lambda - \lambda' = \Delta\lambda là sự thay đổi bước sóng gây ra bởi tán xạ của Photon trên các electron. Đây gọi là độ dịch chuyển Compton
- Phần tia bức xạ không bị lệch sau khi tán xạ, nghĩa là vẫn truyền đúng theo phương của tia tới, sẽ không thay đổi bước sóng.
- Phần tia bức xạ bị tán xạ một cách đáng kể thì khi đi qua khối than chì thì bước sóng của nó thay đổi, bước sóng \lambda ' lớn hơn một cách đáng kể so với bước sóng \lambda của sóng tới.
Câu hỏi đặt ra là : vì sao tần số của tia Rơnghen lại nhỏ đi như vậy?
Compton đã nhận ra rằng, hiện tượng này có thể dễ dàng giải thích bằng mô hình hạt của bức xạ điện từ khi cho rằng các photon của tia Rơnghen va cham đàn hồi với các electron trong trạng thái liên kết của khối than chì. theo quy luật của va chạm đàn hồi, các photon sẽ truyền một phần năng lượng cho electron và do đó sau khi va chạm sẽ có một năng lượng nhỏ hơn. Đến đây theo giả thuyết lượng tử của Planck và lý thuyết Photon của Einstein bức xạ sẽ có tần số nhỏ hơn và do đó có bước sóng lớn hơn.
http://i764.photobucket.com/albums/xx283/vantan169/HiungCompton-2.jpg
Sơ đồ thí nghiệm tán xạ của Compton
Khi tia Rơnghen có bước sóng rất cao thì có thể bỏ qua năng lượng liên kết của electron trong nguyên tử.
Với \lambda = 7,11.10^{11} m => năng lượng Photon E=17,4.10^{13} eV.
=> Trong thực tế toàn bộ năng lượng Photon chuyển cho electron sẽ biến thành động năng của electron.
- Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và năng lượng:
\vec{p} photon + \vec{p} electron = \vec{p}' photon + \vec{p}' electron (1) - Xung lượng.
Có thể xem như:
E photon + E electron = E' photon + E' electron (2) - Năng lượng
- Muốn tính sự thay đổi bước sóng của chùm tia Rơnghen tới tán xạ trên những electron gần như tự do của vật thể ta xem xét góc tán xạ.
- Giả thuyết lượng tử của Planck về sự phụ thuộc của năng lượng vào tần số:
E = hf (3)
- Hệ thức Einstein trong thuyết tương đối hẹp:
E = mc^{2} (4)
Từ (3)(4) => Khối lượng động m của Photon:
hf = mc^{2} => m = \frac{hf}{c^{2}} (5)
- Xung lượng của Photon (p = mv):
p_{photon} = m_{photon}.c = \frac{hf}{c^{2}}.c = \frac{hf}{c} (6)
- Từ E= hf = \frac{hc}{\lambda} => c= \lambda.f (7)
Từ (6)(7) => p_{photon} = \frac{hf}{c} = \frac{hf}{\lambda.f} = \frac{h}{\lambda} (8)
http://i764.photobucket.com/albums/xx283/vantan169/HiungCompton-3.jpg
Xung lượng tán xạ của Photon Rơnghen trên e tự do (mấy cái p trên có dấu véctơ)
Theo định luật bảo toàn xung lượng (hình trên):
\vec{p'}_{photon} + \vec{p'}_{electron} = \vec{p}_{photon} (9)
Cần tính \vec{p'}_{photon}. Dùng định lý Cos: a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2.b.c.cos\alpha (*)
(dùng định lý cos -> bỏ dấu véctơ)
p'^{2}_{electron} = p^{2}_{photon} + p'^{2}_{photon} - 2.p_{photon}.p'_{photon}.cos\varphi (10)
Theo (8) thay xung lượng của Photon : p_{photon} = \frac{h}{\lambda} vào (*)
p^{2}_{photon} = \frac{h^{2}}{\lambda^{2}} + \frac{h^{2}}{\lambda'^{2}} - 2.\frac{h}{\lambda}.\frac{h}{\lambda'}.cos\varphi (11)
Giải (2) theo \lambda' (electron):
E photon + E electron = E' photon + E' electron
<=> E' electron = E photon + E electron - E' photon (12)
- Sau khi va chạm, tần số thay đổi từ f -> f' => Năng lượng sẽ thay đổi (theo giả thuyết lượng tử Planck) :
E -> E' => hf -> hf' => \Delta E_{electron} = hf - hf' (13)
Năng lượng nghỉ của Electron tính theo E = mc^{2} :
=> Năng lượng E'_{electron} sau va chạm :
E'_{electron} = \Delta E_{electron} + m_{electron}.c^{2} = hf - hf' + m_{electron}.c^{2} (14)
- Công thức quan hệ giữa xung lượng và năng lượng:
E = \sqrt{p_^{2}.c^{2} + m^{2}.c^{4}} (15)
=> Áp dụng cho xung lượng và năng lượng cho electron sau va chạm:
E'_{e} = \sqrt{p_{e}^{2}.c^{2} + m_{e}^{2}.c^{4}}
- Bình phương 2 vế và chuyển vế :
E'^{2}_{e} = p'^{2}_{e}.c^{2} + m^{2}_{e}.c^{4} <=> m^{2}_{e}.c^{4} = E'^{2}_{e} - p'^{2}_{e}.c^{2} (16)
Từ (10)(12) ta thay vào phương trình (16):
=> m^{2}_{e}.c^{4} = ( E_{photon} + E _{electron} - E'_{photon})^{2} - ( p^{2}_{photon} +p'^{2}_{photon} - 2.p_{photon}.p'_{photon}.cos\varphi).c^{2}
Kết hợp với (11) và (14) ta có:
m^{2}_{electron}.c^{4} = (E'_{electron})^{2} - (p'_{electron}^{2}) = (hf - hf' + m_{electron}.c^{2})^{2} - (\frac{h^{2}}{\lambda^{2}} + \frac{h^{2}}{\lambda^{2}} - 2. \frac{h}{\lambda}.\frac{h}{\lambda'}.cos\varphi).c ^{2}
Khai triển và rút gọn các số hạng ta được:
0 = h^{2}.f^{2} - 2.h^{2}.f.f' + h^{2}.f'^{2} + 2.hf.m_{e}.c^{2} - 2.h.f'.m_{e}.c^{2} - \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda^{2}} - \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda'^{2}} + 2.\frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda.\lambda'}.cos\varphi (17)
Ta biết rằng: \frac{h.c}{\lambda} = h.f => \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda^{2}} = h^{2}.f^{2} (18)
Có thể suy ra : \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda.\lambda'} = h^{2}.f.f' (19)
Đổi tất cả số hạng ở (17) từ \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda^{2}} hoặc \frac{h^{2}.c^{2}}{\lambda.\lambda'} có thể về h^{2}.f^{2} hoặc h^{2}.f.f' :
=> (17) <=> 0 = h^{2}.f^{2} - 2.h^{2}.f.f' + h^{2}.f'^{2} + 2.h.f.m_{e}.c^{2} - 2.h.f'.m_{e}.c^{2} - h^{2}.f^{2} - 2.h^{2}.f.f' + 2.h^{2}.f.f'.cos\varphi
Rút gọn: 0 = - 2.h^{2}.f.f' + 2.h.f.m_{e}.c^{2} - 2.h.f'.m_{e}.c^{2}+ 2.h^{2}.f.f'.cos\varphi (20)
Chia vế phải cho 2h sau đó ghép thừa số chung ta được:
0 = (f-f').m_{e}.c^{2} - h.f.f'.(1 - cos\varphi)
Hay: (f-f').m_{e}.c^{2} = h.f.f'.(1 - cos\varphi) (21)
Chia 2 vế cho f.f'.m_{e}.c^{2} ta được:
\frac{f-f'}{f.f'} = \frac{h.(1 - cos\varphi)}{m_{e}.c^{2}} (22)
<=> \frac{f}{f.f'} - \frac{f'}{f.f'} = (1- cos\varphi).\frac{h}{m_{e}.c^{2}}
<=> \frac{1}{f'} - \frac{1}{f} = (1 - cos\varphi).\frac{h}{m_{e}c^{2}} (23)
Nhân cả 2 vế của (23) với c, ta có:
\frac{c}{f'} - \frac{c}{f} = (1 - cos\varphi).\frac{h}{m_{e}.c} (24)
Vì \frac{c}{f} = \lambda. Ta có thể viết phương trình (24) dưới dạng:
\lambda - \lambda' = (1 - cos\varphi).\frac{h}{m_{e}.c} (25)
Ta có \lambda - \lambda' = \Delta\lambda là sự thay đổi bước sóng gây ra bởi tán xạ của Photon trên các electron. Đây gọi là độ dịch chuyển Compton